数学核心知识点解析

一、代数运算与不等式

1. 运算方法

被除式÷除式：竖式乘法
消去因式：多项式长除法

2. 基本公式

根式与幂： $\sqrt{a^2}=|a|$ $a^{b^c}=a^{c^b}$ $(a^b)^c=a^{bc}$
绝对值不等式： $||a|-|b|| \leq |a+b| \leq |a|+|b|$ $|a-b| \leq |a|+|b|$
均值不等式： $x_1+x_2+x_3+x_4 \geq n\sqrt[n]{x_1x_2x_3x_4}$ （$x_i>0$）
柯西不等式： $(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2$ $(a_1^2+…+a_n^2)(b_1^2+…+b_n^2) \geq (a_1b_1+…+a_nb_n)^2$
分式不等式1： $\frac{a_1^2}{b_1}+…+\frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1+…+a_n)^2}{b_1+…+b_n}$ 满足条件：$\frac{a_1}{b_1}=…=\frac{a_n}{b_n}$
分式不等式2： $\frac{a_1^{m+1}}{b_1^m}+…+\frac{a_n^{m+1}}{b_n^m} \geq \frac{(a_1+…+a_n)^{m+1}}{(b_1+…+b_n)^m}$ （$m>0$）

3. 对数与数列

对数换底： $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
等比数列： $a_n=a_1q^{n-1}$ $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

4. 三角恒等变换

$s\pm = sc \pm cs$ $c\pm = cc \mp ss$ $t\pm t = \frac{t\pm t}{1\mp tt}$

和差化积公式

$\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
积化和差公式
$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$
$\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$
$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$
$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$

三角基本恒等式（补充）

$\tan^2x + 1 = \sec^2x$
$\cot^2x + 1 = \csc^2x$
半角/降幂公式： $\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}$，$\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$
万能公式（令$u = \tan\frac{x}{2}$）： $\sin x = \frac{2u}{1+u^2}$，$\cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$，$\tan x = \frac{2u}{1-u^2}$
辅助角公式： $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，其中$\sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\tan\varphi = \frac{b}{a}$

反三角函数恒等式

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$，$x\in[-1,1]$
$\arctan x + \text{arccot}x = \frac{\pi}{2}$，$x\in\mathbb{R}$

二、函数性质

1. 奇偶性

核心结论

$f(x)+f(-x)$ 是偶函数
$f(x)-f(-x)$ 是奇函数

具体函数及导函数

$f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$（奇），$f’(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$（奇），$f’(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$（偶），$f’(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

运算与特性

奇偶相乘：奇×偶=奇，奇×奇=偶，偶×偶=偶
复合函数：全奇则奇，遇偶则偶
单调性：复合函数同增异减
导函数奇偶性：奇偶函数n阶导奇偶交替
原函数：奇函数原函数为偶函数，偶函数原函数不一定为奇

2. 对称性与有界性

关于$x=a$对称

$f(x)=f(2a-x)$
$f(a-x)=f(a+x)$
有界性
$ f(x) <M$（$M$为常数），则$f(x)$有界

三、泰勒公式（麦克劳林展开）

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$
$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)$

等价无穷小（$x \to 0$）

$\arctan x \sim \sin x \sim x \sim \arcsin x \sim \tan x$

四、极限相关

1. 方程根判定

两根之间一点$m$：$a·f(m)<0$

2. 数列极限单调性

$\ln n^a < n^a < a^n < n! < n^n$

3. 极限保号性

$\lim f > 0 \Rightarrow f > 0$
$\lim f < 0 \Rightarrow f < 0$
$f \geq 0 \Rightarrow \lim f \geq 0$
$f \leq 0 \Rightarrow \lim f \leq 0$

4. 极限定义（$\epsilon-\delta$）

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0$，当$0«|x-x_0|<\delta$时，$|f(x)-A|<\epsilon$，则$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$

5. 常见极限

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$ 不存在

6. 极限存在充要条件

左极限$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$ 和右极限$\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)$都存在且相等，即$\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=A$，此时$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$，否则极限不存在

五、极坐标曲线

1. 圆的极坐标方程

圆心在极点，半径$a$：$r = a$
圆心在$(a,0)$，半径$a$：$r = 2a\cos\theta$

2. 经典曲线

心形线：$r = a(1-\cos\theta)$（$a>0$）
阿基米德螺线：$r = a\theta$（$a>0, \theta\geq0$）
双纽线： $r^2 = a^2\sin2\theta$，$r^2 = a^2\cos2\theta$

六、常见参数方程

1. 圆

直角坐标方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 参数方程（参数为$t$）： $\begin{cases}x = a + r\cos t \\ y = b + r\sin t\end{cases}$

2. 星形线

直角坐标方程：$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 参数方程（参数为$t$）： $\begin{cases}x = a\cos^3t \\ y = a\sin^3t\end{cases}$

3. 摆线

参数方程（参数为$t$）： $\begin{cases}x = a(t-\sin t) \\ y = a(1-\cos t)\end{cases}$